9  Analyse statistique et modélisation

9.1 Introduction

La statistique inférentielle cherche à tirer des conclusions sur une population à partir d’un échantillon, en quantifiant l’incertitude. Ce chapitre introduit population/échantillon, intervalles de confiance, tests d’hypothèses, corrélation, régression linéaire et ses limites — notamment la distinction corrélation / causalité.

9.2 Objectifs pédagogiques

• Distinguer description et inférence
• Interpréter un intervalle de confiance et une p-valeur avec prudence
• Comparer des moyennes
• Ajuster et diagnostiquer une régression linéaire
• Évaluer les performances et les limites d’un modèle

9.3 Prérequis

Chapter 7 et Chapter 8. Package broom.

library(tidyverse)
library(broom)

etudes <- read_csv("data/etudes_notes.csv", show_col_types = FALSE)
demo <- read_csv("data/demographie.csv", show_col_types = FALSE) |>
  filter(age <= 100, revenu_mensuel < 20000)

9.4 Population et échantillon

• Population : ensemble cible (tous les clients, tous les étudiants…)
• Échantillon : sous-ensemble observé
• Paramètre : caractéristique de la population (souvent inconnue)
• Statistique : caractéristique calculée sur l’échantillon

Vocabulaire

• Estimateur : règle de calcul (ex. moyenne empirique)
• Biais : erreur systématique
• Variance d’échantillonnage : variabilité d’un estimateur entre échantillons

9.5 Variables quantitatives et qualitatives

Type	Exemples	Analyses typiques
Quantitative continue	revenu, température	moyenne, régression
Quantitative discrète	nombre d’achats	effectifs, Poisson (avancé)
Qualitative nominale	région, sexe	tableaux, chi-2
Qualitative ordinale	niveau d’études	rangs, tendances

9.6 Échantillonnage (principes)

Un échantillon aléatoire simple donne à chaque unité la même chance d’être tirée. Les biais de sélection (volontaires uniquement, survivants…) invalident souvent l’inférence.

9.7 Probabilités et distributions de base

# Loi normale : densité
x <- seq(-3, 3, length.out = 200)
dens <- dnorm(x, mean = 0, sd = 1)

# Probabilité P(Z <= 1.96) ≈ 0.975
pnorm(1.96)

#> [1] 0.9750021

# Quantile 97.5 %
qnorm(0.975)

#> [1] 1.959964

Beaucoup de moyennes d’échantillons se rapprochent d’une normale lorsque n est assez grand (théorème central limite) — sous conditions.

9.8 Intervalles de confiance

# IC à 95 % pour la moyenne du revenu (approx. normale)
n <- nrow(demo)
m <- mean(demo$revenu_mensuel)
s <- sd(demo$revenu_mensuel)
erreur <- qt(0.975, df = n - 1) * s / sqrt(n)
c(bas = m - erreur, haut = m + erreur)

#>      bas     haut 
#> 2090.178 2269.281

Interprétation correcte : la procédure à 95 % couvre le vrai paramètre dans 95 % des échantillons répétés. Ce n’est pas « la probabilité que le paramètre soit dans cet intervalle » au sens bayésien naïf.

9.9 Tests d’hypothèses (introduction)

1. Hypothèse nulle (H_0) (souvent : « pas d’effet / pas de différence »)
2. Hypothèse alternative (H_1)
3. Statistique de test + p-valeur
4. Décision au seuil α (souvent 5 %), avec contexte

La p-valeur n’est pas…

• la probabilité que (H_0) soit vraie
• la taille de l’effet
• une preuve de causalité

Une p-valeur faible suggère que des données aussi extrêmes sont rares si (H_0) est vraie — pas plus.

9.10 Comparaison de moyennes

# Revenu Homme vs Femme
hommes <- demo$revenu_mensuel[demo$sexe == "Homme"]
femmes <- demo$revenu_mensuel[demo$sexe == "Femme"]

t.test(hommes, femmes, var.equal = FALSE)

#> 
#>  Welch Two Sample t-test
#> 
#> data:  hommes and femmes
#> t = -0.50217, df = 146, p-value = 0.6163
#> alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#>  -223.6085  132.9976
#> sample estimates:
#> mean of x mean of y 
#>  2158.608  2203.913

Vérifiez n, normalité approximative / robustesse, et l’écart pratique (différence de moyennes), pas seulement la significativité.

9.11 Corrélation et association

cor.test(etudes$heures_etude, etudes$note_examen)

#> 
#>  Pearson's product-moment correlation
#> 
#> data:  etudes$heures_etude and etudes$note_examen
#> t = 17.669, df = 98, p-value < 2.2e-16
#> alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#>  0.8157770 0.9124674
#> sample estimates:
#>       cor 
#> 0.8724065

Pour deux qualitatives : test du chi-2 sur tableau croisé (chisq.test).

9.12 Régression linéaire simple

Modèle : (Y = _0 + _1 X + )

mod1 <- lm(note_examen ~ heures_etude, data = etudes)
summary(mod1)

#> 
#> Call:
#> lm(formula = note_examen ~ heures_etude, data = etudes)
#> 
#> Residuals:
#>      Min       1Q   Median       3Q      Max 
#> -18.9041  -6.1094  -0.1172   5.9189  16.1833 
#> 
#> Coefficients:
#>              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#> (Intercept)   46.9101     1.5137   30.99   <2e-16 ***
#> heures_etude   2.2904     0.1296   17.67   <2e-16 ***
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> Residual standard error: 7.371 on 98 degrees of freedom
#> Multiple R-squared:  0.7611, Adjusted R-squared:  0.7587 
#> F-statistic: 312.2 on 1 and 98 DF,  p-value: < 2.2e-16

tidy(mod1)

#> # A tibble: 2 × 5
#>   term         estimate std.error statistic  p.value
#>   <chr>           <dbl>     <dbl>     <dbl>    <dbl>
#> 1 (Intercept)     46.9      1.51       31.0 1.94e-52
#> 2 heures_etude     2.29     0.130      17.7 3.14e-32

glance(mod1)

#> # A tibble: 1 × 12
#>   r.squared adj.r.squared sigma statistic  p.value    df logLik   AIC   BIC
#>       <dbl>         <dbl> <dbl>     <dbl>    <dbl> <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl>
#> 1     0.761         0.759  7.37      312. 3.14e-32     1  -341.  687.  695.
#> # ℹ 3 more variables: deviance <dbl>, df.residual <int>, nobs <int>

Lecture : la pente estime la variation moyenne de la note pour une heure d’étude supplémentaire dans le modèle et l’échantillon, toutes choses égales selon les hypothèses. (R^2) mesure la part de variance expliquée — pas la vérité causale.

ggplot(etudes, aes(heures_etude, note_examen)) +
  geom_point(alpha = 0.7) +
  geom_smooth(method = "lm", se = TRUE, color = "#1a5276") +
  labs(
    title = "Notes selon les heures d'étude",
    x = "Heures d'étude", y = "Note"
  ) +
  theme_minimal()

9.13 Régression linéaire multiple

mod2 <- lm(mpg ~ wt + hp + factor(cyl), data = mtcars)
tidy(mod2)

#> # A tibble: 5 × 5
#>   term         estimate std.error statistic  p.value
#>   <chr>           <dbl>     <dbl>     <dbl>    <dbl>
#> 1 (Intercept)   35.8       2.04       17.6  2.67e-16
#> 2 wt            -3.18      0.720      -4.42 1.44e- 4
#> 3 hp            -0.0231    0.0120     -1.93 6.36e- 2
#> 4 factor(cyl)6  -3.36      1.40       -2.40 2.37e- 2
#> 5 factor(cyl)8  -3.19      2.17       -1.47 1.54e- 1

glance(mod2)$r.squared

#> [1] 0.8572195

Attention à la multicolinéarité et au surajustement lorsque le nombre de prédicteurs devient grand face à n.

9.14 Hypothèses et résidus

Hypothèses classiques du modèle linéaire (simplifiées) :

• Linéarité de la relation
• Erreurs indépendantes
• Variance approximativement constante (homoscédasticité)
• Normalité des erreurs (surtout pour inférence exacte à petit n)
• Pas de leviers/outliers trop influents sans examen

aug <- augment(mod1)

ggplot(aug, aes(.fitted, .resid)) +
  geom_point() +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", color = "red") +
  labs(title = "Résidus vs valeurs ajustées", x = "Ajusté", y = "Résidu") +
  theme_minimal()

ggplot(aug, aes(sample = .resid)) +
  stat_qq() +
  stat_qq_line() +
  labs(title = "QQ-plot des résidus") +
  theme_minimal()

9.15 Évaluation des performances

# R² et R² ajusté
glance(mod1) |> select(r.squared, adj.r.squared, sigma, AIC)

#> # A tibble: 1 × 4
#>   r.squared adj.r.squared sigma   AIC
#>       <dbl>         <dbl> <dbl> <dbl>
#> 1     0.761         0.759  7.37  687.

# Erreur absolue moyenne (sur l'échantillon d'apprentissage — optimiste)
mean(abs(aug$.resid))

#> [1] 5.963408

Pour une évaluation plus honnête : séparer train/test ou validation croisée (niveau avancé).

9.16 Limites : corrélation versus causalité

Exemples de raisonnement incorrect :

• « Les ventes de glaces et les noyades corrélent → les glaces causent les noyades » (facteur tiers : chaleur)
• « Le modèle prédit bien → le levier d’action est prouvé » (sans design expérimental / inférence causale)

Les tests et régressions éclairent ; ils ne remplacent pas le raisonnement scientifique, le design d’étude et la connaissance du domaine.

Message clé du chapitre

Significativité statistique ≠ importance pratique ≠ causalité.

9.17 Démonstration complète

mod_final <- lm(note_examen ~ heures_etude + filiere, data = etudes)
tidy(mod_final)

#> # A tibble: 4 × 5
#>   term            estimate std.error statistic  p.value
#>   <chr>              <dbl>     <dbl>     <dbl>    <dbl>
#> 1 (Intercept)      46.9        1.89    24.8    1.50e-43
#> 2 heures_etude      2.29       0.132   17.3    2.81e-31
#> 3 filiereLettres    0.0554     1.88     0.0294 9.77e- 1
#> 4 filiereSciences  -0.172      1.76    -0.0982 9.22e- 1

glance(mod_final)

#> # A tibble: 1 × 12
#>   r.squared adj.r.squared sigma statistic  p.value    df logLik   AIC   BIC
#>       <dbl>         <dbl> <dbl>     <dbl>    <dbl> <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl>
#> 1     0.761         0.754  7.45      102. 9.77e-30     3  -341.  691.  704.
#> # ℹ 3 more variables: deviance <dbl>, df.residual <int>, nobs <int>

# Prédiction pour 10 h d'étude, filière Sciences
predict(
  mod_final,
  newdata = data.frame(heures_etude = 10, filiere = "Sciences"),
  interval = "confidence"
)

#>        fit      lwr      upr
#> 1 69.68633 67.18396 72.18869

9.18 Exercices

9.18.1 Niveau 1

1. Calculez cor(etudes$heures_etude, etudes$note_examen).
2. Que signifie (H_0) dans un test de moyenne égale à 0 pour une pente ?

9.18.2 Niveau 2

3. Ajustez lm(revenu_mensuel ~ age + sexe, data = demo) et lisez tidy().
4. Produisez le graphique résidus vs ajustés.

9.18.3 Niveau 3

5. Comparez mod1 (simple) et un modèle note ~ heures_etude + filiere via AIC / adj.r.squared.
6. Rédigez 5 lignes : ce que le modèle dit, ce qu’il ne dit pas.

9.19 Corrections

cor(etudes$heures_etude, etudes$note_examen)

#> [1] 0.8724065

# H0 pour la pente : beta1 = 0 (pas d'association linéaire)

mod_d <- lm(revenu_mensuel ~ age + sexe, data = demo)
tidy(mod_d)

#> # A tibble: 3 × 5
#>   term        estimate std.error statistic  p.value
#>   <chr>          <dbl>     <dbl>     <dbl>    <dbl>
#> 1 (Intercept) 2193.       149.     14.7    1.68e-30
#> 2 age            0.211      2.64    0.0798 9.36e- 1
#> 3 sexeHomme    -43.8       93.4    -0.469  6.40e- 1

augment(mod_d) |>
  ggplot(aes(.fitted, .resid)) +
  geom_point() +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed") +
  theme_minimal()

m_a <- lm(note_examen ~ heures_etude, data = etudes)
m_b <- lm(note_examen ~ heures_etude + filiere, data = etudes)
glance(m_a) |> select(adj.r.squared, AIC)

#> # A tibble: 1 × 2
#>   adj.r.squared   AIC
#>           <dbl> <dbl>
#> 1         0.759  687.

glance(m_b) |> select(adj.r.squared, AIC)

#> # A tibble: 1 × 2
#>   adj.r.squared   AIC
#>           <dbl> <dbl>
#> 1         0.754  691.

9.20 Points clés

• Inférence = généraliser avec incertitude.
• IC, tests et régressions ont des hypothèses et des limites.
• Diagnostiquez les résidus ; méfiez-vous de la causalité spontanée.

9.21 Ressources

• Çetinkaya-Rundel and Hardin (2023), R Core Team (2024) (?lm, ?t.test)
• broom pour des sorties tidy

9.22 Suite

Chapter 10 : communiquer analyses et graphiques avec Quarto.

Çetinkaya-Rundel, Mine, and Johanna Hardin. 2023. Introduction to Modern Statistics. https://openintro-ims.netlify.app/.

R Core Team. 2024. R: A Language and Environment for Statistical Computing. Vienna, Austria: R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/.